Question

（選做題）已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3．
（Ⅰ）解不等式：g（x）≥-2；
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，知|x+2|≤5，由此能求出不等式g（x）≥-2的解集．
（Ⅱ）由f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，知f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，設(shè)h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，則h(x)≥

3

2

．由當(dāng)x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，知m+2≤

3

2

，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=-|x+2|+3，g（x）≥-2，
∴|x+2|≤5，
∴-5≤x+2≤5，
解得-7≤x≤3，
∴不等式g（x）≥-2的解集為{x|-7≤x≤3}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，
∴f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
設(shè)h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
則h（x）=

-3x-2，x≤-2 -x+2，-2＜x＜ 1 2 3x，x≥ 1 2

，
∴h(x)≥

3

2

．
∵當(dāng)x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，
∴m+2≤

3

2

，解得m≤-

1

2

，
所以，實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-

1

2

]．

點評：本題考查不等式的解法和求實數(shù)的取值范圍，具體涉及到含絕對值不等式的性質(zhì)、函數(shù)的恒成立問題，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．