Question

已知函數(shù)y=的定義域?yàn)镸，
（1）求M；
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，得，解得-1≤x＜1，
所以M={x|-1≤x＜1}；
（2）-2^x+2+3×4^x=-4•2^x+3•（2^x）²，
令t=2^x，因?yàn)閤∈M，所以t∈[，2），
則-4•2^x+3•（2^x）²=3t²-4t=3，
所以當(dāng)t=即x=時(shí)，-2^x+2+3×4^x取得最小值-，
-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等價(jià)于-≥k，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k；
分析：（1）要使函數(shù)有意義，須有，解出可得M；
（2）x∈M時(shí)，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等價(jià)于-2^x+2+3×4^x的最小值大于等于k，通過換元借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求得-2^x+2+3×4^x的最小值；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題、不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問題的能力．