Question

4．已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈Z），若a₂：a₃=1：2．
（1）求n的值；
（2）求a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求a₀-2a₁+4a₂-8a₃+…+（-2）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-$\frac{1}{x}$-1+$\frac{{（1+x）}^{n+1}}{x}$，=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈Z），由a₂：a₃=${C}_{n+1}^{3}$：${C}_{n+1}^{4}$=1：2，求得 n的值．
（2）在所給的等式中，令x=1，利用等比數(shù)列的求和公式可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n 的值．
（3）在所給的等式中，令x=-2，可 求a₀-2a₁+4a₂-8a₃+…+（-2）ⁿa_n的值．

解答 解：（1）∵（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=$\frac{（1+x）[1{-（1+x）}^{n}]}{-x}$=$\frac{1+x{-（1+x）}^{n+1}}{-x}$=-$\frac{1}{x}$-1+$\frac{{（1+x）}^{n+1}}{x}$，
=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈Z），
若a₂：a₃=${C}_{n+1}^{3}$：${C}_{n+1}^{4}$=1：2，即 $\frac{4}{n-2}$=$\frac{1}{2}$，∴n=6．
（2）在所給的等式中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n =2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．
（3）在所給的等式中，令x=-2，可 求a₀-2a₁+4a₂-8a₃+…+（-2）ⁿa_n
=-1+1-1+1+…+（-1）ⁿ=$\left\{\begin{array}{l}{0，n為偶數(shù)}\\{-1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．