Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
（1）求x∈[2k-1，2k]（k∈Z）時(shí)，f（x）的表達(dá)式
（2）若A，B是f（x）圖象上縱坐標(biāo)相等的兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)在[0，2]內(nèi)，點(diǎn)C（1，0），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出自變量屬于要求的區(qū)間上的范圍x∈[2k-1，2k]，得到2k-x∈[0，1]，代入解析式得到f（2k-x）=2k-x，根據(jù)函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，得到f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=2-x，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，設(shè)出A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)x∈[2k-1，2k]，k∈Z，則2k-x∈[0，1]，那么f（2k-x）=2k-x
又f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
∴x∈[2k-1，2k]（k∈Z）時(shí)，f（x）=2k-x（6分）
（2）由（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=2-x，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
設(shè)A（1-t，1-t），B（1+t，1-t），其中0＜t＜1
則AB=2t，，S_△ABC=2t•（1-t）≤

1

2

即△ABC面積的最大值是

1

2

（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象及圖象的變化，考查函數(shù)的解析式的求法，以及三角形的面積的最值，本題解題的關(guān)鍵是要求最值，需要先表示出最值，本題是一個(gè)中檔題目．