Question

8．某地區(qū)預(yù)計從2015年初開始的第x月，商品A的價格f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x∈N，x≤12，價格單位：元），且第x月該商品的銷售量g（x）=x+12（單位：萬件）．
（1）商品A在2015年的最低價格是多少？
（2）2015年的哪一個月的銷售收入最少，最少是多少？

Answer 1

分析 （1）由價格函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x∈N，1≤x≤12）是二次函數(shù)，可得f（x）的最小值，即價格最低；
（2）銷售收入y=f（x）•g（x），整理，得關(guān)于x的三次函數(shù)，用求導(dǎo)法，可以求出y的最小值，即哪個月銷售收入最少．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）=$\frac{1}{2}$[（x-6）²+33]
∴當x=6時，f（x）取得最小值，
即第6月的價格最低，最低價格為16.5元；…（4分）
（2）設(shè)第x月的銷售收入為y（萬元），依題意有y=$\frac{1}{2}$（x²-12x+69）（x+12）=$\frac{1}{2}$（x³-75x+828），…（6分）
∴y′=$\frac{3}{2}$（x+5）（x-5），…（8分）
∴當1≤x≤5時y′≤0，y遞減；…（9分）
當5≤x≤12時y′≥0，y遞增，…（10分）
∴當x=5時，y最小，即第5個月銷售收入最少．最低銷售收入為289萬元…（12分）
答：2013年在第5月的銷售收入最低．最低銷售收入為289萬元…（13分）

點評 本題考查了二次函數(shù)，三次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值時，常用“導(dǎo)數(shù)大于0，函數(shù)單調(diào)增；導(dǎo)數(shù)小于0，函數(shù)單調(diào)減”來判定．