Question

16．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，當x＞0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{|{x-1}|}}-1\;\;\;，\;0＜x≤2\\ \frac{1}{2}f（{x-2}）\;\;，\;x＞2\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=4f（x）-1的零點的個數(shù)為10．

Answer 1

分析 由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=$\frac{1}{4}$，作出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結合即可得到結論．

解答 解：由g（x）=4f（x）-1=0，得f（x）=$\frac{1}{4}$，
要判斷函數(shù)g（x）的零點個數(shù)，則根據(jù)f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，
只需要判斷當x＞0時f（x）=$\frac{1}{4}$的個數(shù)即可，
當0＜x≤2時，f（x）=2^|x-1|-1∈[0，1]，
當2＜x≤4時，0＜x-2≤2時，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{2}$[2^|x-3|-1]∈[0，$\frac{1}{2}$]，
當4＜x≤6時，2＜x-2≤4時，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{4}$[2^|x-5|-1]∈[0，$\frac{1}{4}$]，
當6＜x≤8時，4＜x-2≤6時，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2）=$\frac{1}{8}$[2^|x-7|-1]∈[0，$\frac{1}{8}$]，
作出函數(shù)f（x）在（0，8）上的圖象，由圖象可知f（x）=$\frac{1}{4}$有5個根，
則根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知f（x）=$\frac{1}{4}$在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上共有10個根，
即函數(shù)g（x）=4f（x）-1的零點個數(shù)為10個，
故答案為：10．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的個數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．