Question

給定實數(shù)集合P、Q滿足P={x|sin²[x]+sin²{x}=1}（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，{x}=x-[x]），Q={x|sin2x+sin2(x+

π

4

)=

3

2

}，則P∩Q=（　　）

A．P

B．Q

C．?

D．P∪Q

Answer 1

分析：先求出集合P，再根據(jù)二倍角的余弦公式化簡集合Q，通過列舉判斷出兩個集合的關系．

解答：解：∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤{x}=x-[x]＜1，
由sin²[x]+sin²{x}=1可得 sin²{x}=cos²[x]，
所以[x]=kπ+

π

2

+{x}，
  Q={x|sin2x+sin2(x+

π

4

)=

3

2

}={x|sin2x+

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+sinxcosx=

3

2

}
={x |

1-cos2x

2

+

1

2

+

1

2

sin2x=

3

2

}={x|sin2x-cos2x=1}={x|

sin2x=1 cos2x=0

 或

sin2x =0 cos2x=-1

，
={x|2x=2kπ+

π

2

，或2x=2kπ+π }
={x|x=kπ+

π

4

  或x=kπ+

π

2

，k∈z}．
所以P∩Q=P

點評：本題考查判斷兩個集合的關系應該先化簡兩個集合，再利用集合的交、并、補的定義進行判斷，屬于中檔題．