Question

1．已知A、B為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上一點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且∠PBF₁=45°，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可得PF₁⊥PF₂，|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，求出雙曲線的一條漸近線方程，可得x₀，y₀的方程，解方程可得P的坐標(biāo)，解直角三角形PAB，可得b=2a，求出a，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式即可得到所求值．

解答 解：F₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，
可得PF₁⊥PF₂，|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
由雙曲線的漸近線方程y=-$\frac{a}$x，
即有x₀²+y₀²=c²，bx₀+ay₀=0，
解得P（-a，b），
則PA⊥AB，
又∠PBF₁=45°，
則|PA|=|AB|，
即有b=2a，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和直角三角形的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．