Question

（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）設(shè)n是滿足C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)，求97ⁿ除以99的余數(shù)．
（3）當(dāng)n∈N*且n＞1時(shí)，求證2＜（1+）ⁿ＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接采用倒序相加法再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（2）先對(duì)C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ進(jìn)行整理，結(jié)合第一問的結(jié)論求出滿足C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數(shù)n；再根據(jù)97⁷=（99-2）⁷=C₇•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷，把問題轉(zhuǎn)化為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)即可；
（3）直接根據(jù)（1+）ⁿ=c_n+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ只用前兩項(xiàng)即可證明不等式的前半部分；再通過組合數(shù)的性質(zhì)對(duì)等式右邊進(jìn)行放縮即可證明右邊．
解答：證明：（1）記S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n•2^n-1＜1000
由于7•2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8•2⁷+2⁸，
∴n=7  …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷
∴97ⁿ除以99的余數(shù)即為-C₇⁷•2⁷除以99的余數(shù)70  （2分）
證明：（3）∵（1+）ⁿ=c_n+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ＞c_n+C_n¹•=2 （1分）
∵c_n+C_n¹•+C_n²•+…+C_nⁿ•（）ⁿ
=2+•+…+•
＜2++…+（2分）
＜2++…+
=2+（1-）+…+（-）
=3-＜3 （2分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中等難度題型，在處理有關(guān)二項(xiàng)式定理有關(guān)系數(shù)問題時(shí)要熟記結(jié)論以及性質(zhì)．