Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n是其前n項(xiàng)的和，且a₁=2，

S2009

2009

-

S2007

2007

=2，則數(shù)列{

1

Sn

} 的前n項(xiàng)的和是

n

n+1

．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S₂₀₀₉和S₂₀₀₇，代入已知的等式中，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)，求出公差d的值，再由首項(xiàng)的值，利用等差數(shù)列的求和公式得出

1

Sn

的通項(xiàng)公式，利用拆項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)，然后把所求數(shù)列的每一項(xiàng)列舉出來(lái)，利用拆項(xiàng)得到的規(guī)律變形，抵消合并，即可得到所求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：∵S₂₀₀₉=

2009(a1+a2009)

2

，S₂₀₀₇=

2009(a1+a2007)

2

，
∴

S2009

2009

-

S2007

2007

=

a1+a2009

2

-

a1+a2007

2

=d=2，又a₁=2
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=2n+n（n-1）=n（n+1），
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則數(shù)列{

1

Sn

} 的前n項(xiàng)的和為

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
故答案為：

n

n+1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列的求和，本題數(shù)列的求和方法是利用拆項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，抵消合并可得數(shù)列的和，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．