Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過點O的割線，PA=10，PB=5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于點D和E．
（Ⅰ）求證：

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

分析：（ I）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進而求出結(jié)論；
（ II）先根據(jù)切割線定理得到PA²=PB•PC；結(jié)合第一問的結(jié)論以及勾股定理求出AC=6

5

，AB=3

5

；再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進而求出結(jié)果．

解答：解：（ I）∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（3分）
（ II）∵PA為⊙O的切線，PBC是過點O的割線，
∴PA²=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°．
∴AC²+AB²=BC²=225，
∴AC=6

5

，AB=3

5

 …（7分）
連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴

AB

AE

=

AD

AC

 …（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3

5

×6

5

=90．…（10分）

點評：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應用．解決本題第一問的關(guān)鍵在于先由切線PA得到∠PAB=∠ACP．