已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 ( a＞b＞0 )的一個頂點A與拋物線y=
1
8
x2的焦點重合，離心率e=
6
3

（1）求橢圓的方程；
（2）直線l：y=kx-2（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點M，N滿足
MP
 =
PN
 ， 
AP
 • 
MN
=0，求k．
分析：（1）設(shè)c=
a2-b2
，依題意得
b=2
e=
c
a
=
a2-b2
a
=
6
3
，由此能求出橢圓方程．
（2）由
MP
 =
PN
 ， 
AP
 • 
MN
=0，知AP⊥MN，且點P線段MN的中點，由
y=kx-2
x2
12
+
y2
4
=1
，得（1+3k2）x2-12kx=0．設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），線段MN的中點P（x0，y0），則x1+x2=
12k
1+3k2
，P (
6k
1+3k2
 ， 
-2
1+3k2
)．由k≠0，知直線AP的斜率為k1=
-2
1+3k2
-2
6k
1+3k2
=
-2-2(1+3k2)
6k
，由MN⊥AP，解得k=±
3
3
．
解答：解：（1）設(shè)c=
a2-b2
，依題意得
b=2
e=
c
a
=
a2-b2
a
=
6
3
，即
b=2
6a2=9a2-9b2

∴a2=3b2=12，即橢圓方程為
x2
12
+
y2
4
=1．
（2）∵
MP
 =
PN
 ， 
AP
 • 
MN
=0∴AP⊥MN，且點P線段MN的中點，
由
y=kx-2
x2
12
+
y2
4
=1
消去y得x2+3（kx-2）2=12，即（1+3k2）x2-12kx=0（*）
由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）2=144k2＞0，顯然方程（*）有兩個不相等的實數(shù)根．
設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），線段MN的中點P（x0，y0），
則x1+x2=
12k
1+3k2
，∴x0=
x1+x2
2
=
6k
1+3k2

∴y0=kx0-2=
6k2-2 (1+3k2)
1+3k2
=
-2
1+3k2
，即P (
6k
1+3k2
 ， 
-2
1+3k2
)∵k≠0，∴直線AP的斜率為k1=
-2
1+3k2
-2
6k
1+3k2
=
-2-2(1+3k2)
6k
，
由MN⊥AP，得
-2-2(1+3k2)
6k
×k=-1，
∴2+2+6k2=6，解得：k=±
3
3
，
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案