在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,B為短軸的一個端點,E是橢圓C上的一點,滿足OE=OF1+
2
2
OB
,且△EF1F2的周長為2(
2
+1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點M是線段OF2上的一點,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P、Q兩點,若△MPQ是以M為頂點的等腰三角形,求點M到直線l距離的取值范圍.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由已知F1(-xc,0),設(shè)B(0,b),則E(-c,
2
2
b
),
c
a
=
2
2
,2a+2c=2+2
2
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)點M(m,0),(0<m<1),直線l的方程為y=k(x-1),k≠0,由
y=k(x-1)
x2+2y2=2
,得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,由此利用韋達定理、中點坐標(biāo)公式、點到直線的距離公式,結(jié)合已知條件能求出點M到直線距離的取值范圍.
解答: (本小題滿分12分)
解:(1)由已知F1(-xc,0),設(shè)B(0,b),即
OF1
=(-c,0),
OB
=(0,b),
OE
=(-c,
2
2
b
),即E(-c,
2
2
b
),
c2
a2
+
1
2
b2
b2
=1
,得
c
a
=
2
2
,①…(2分)
又△PF1F2的周長為2(
2
+1
),
∴2a+2c=2+2
2
,②…(4分)
又①②得:c=1,a=
2
,∴b=1,
∴所求橢圓C的方程為:
x2
2
+y2
=1.…(5分)
(2)設(shè)點M(m,0),(0<m<1),直線l的方程為y=k(x-1),k≠0,
y=k(x-1)
x2+2y2=2
,消去y,得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點為N(x0,y0),
x1+x2=
4k2
1+2k2
,∴y1+y2=k(x1+x2-2)=
-2k
1+2k2
,
x0=
x1+x2
2
=
2k2
1+2k2
,y0=
y1+y2
2
=
-k
1+2k2
,
即N(
2k2
1+2k2
-k
1+2k2
),…(8分)
∵△MPQ是以M為頂點的等腰三角形,∴MN⊥PQ,
k2
m(1+2k2)-2k2
=-1,
∴m=
k2
1+2k2
=
1
2+
1
k2
∈(0,
1
2
),…(10分)
設(shè)點M到直線l:kx-y-k=0距離為d,
則d2=
k2(m-1)2
k2+1
=
k2(k2+1)
(1+2k2)2
1
4
(k2+k2+1)2
(1+2k2)2
=
1
4
,
∴d∈(0,
1
2
),
即點M到直線距離的取值范圍是(0,
1
2
).…(12分)
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查點到直線的距離的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意韋達定理、中點坐標(biāo)公式、點到直線的距離公式的合理運用.
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命題p:α=
π
3
,命題q:tanα=
3
,p是q
 
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以橢圓
x2
25
+
y2
16
=1的焦點為頂點,離心率為2的雙曲線方程( 。
A、
x2
16
-
y2
48
=1
B、
x2
9
-
y2
27
=1
C、
x2
16
-
y2
48
=1或
x2
9
-
y2
27
=1
D、以上都不對

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3
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6
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A、5
B、4
C、
11
5
5
D、
11
5

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2
 a,求證:DQ⊥平面EAC;
(2)試判斷BP是否平行于平面EAC,并說明理由;
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