拋物線y2=4x上有兩個定點A、B分別在對稱軸的上、下兩側(cè)，F(xiàn)為拋物線的焦點，并且|FA|=2，|FB|=5．
（1）求直線AB的方程；
（2）在拋物線AOB這段曲線上求一點P，使△PAB的面積最大，并求最大面積．（其中O為坐標(biāo)原點）
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知得F（1，0），由|FA|=2，得A（1，2）同理B（4，-4），由此能求出直線AB的方程．
（2）設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x0，y0），且-4≤y0≤2，由點P到直線AB的距離求出當(dāng)y0=-1時，d取最大值
9
5
10
，又|AB|=3
5
，由此能求出△PAB的面積最大值和P點坐標(biāo)．
解答： 解：（1）由已知得F（1，0），
設(shè)點A坐標(biāo)為（x1，y1），
由|FA|=2，得x1+1=2，x1=1，所以A（1，2）
同理B（4，-4），
所以直線AB的方程為2x+y-4=0．（6分）
（2）設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點P（x0，y0），
且-4≤y0≤2
則點P到直線AB的距離：
d=
|2x0+y0-4|
1+4
=
|2×
y
2
0
4
+y0-4|
5
=
|
1
2
(y0+1)2-
9
2
|
5

所以當(dāng)y0=-1時，d取最大值
9
5
10
，（10分）
又|AB|=3
5
，（12分）
所以△PAB的面積最大值為S=
1
2
×3
5
×
9
5
10
=
27
4
，
此時P點坐標(biāo)為(
1
4
，-1)．（15分）
點評：本題考查直線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f(x)=(a+
b
x
) ex．
（1）若a=2，b=1，求f（x）在（0，+∞）內(nèi)的極值；
（2）①若a＞0，b＞0，求證：f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；
②若f（2）＜0，f（-2）＜e-2，且f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點（a，b）形成的平面區(qū)域的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若F1，F(xiàn)2分別是橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點．
（1）設(shè)點P是第一象限內(nèi)橢圓上的點，且
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的點A，B，且
OA
•
OB
＞0，（其中O為原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以40千米/時的速度向北偏東30°航行的科學(xué)探測船上釋放了一個探測氣球，氣球順風(fēng)向正東飄去，3分鐘后氣球上升到1千米處，從探測船上觀察氣球，仰角為30°，求氣球的水平飄移速度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=-2x3+6ax（0≤x≤1）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓（x+1）2+y2=8的圓心為M，N（t，0），t＞0且t≠2
2
-1，設(shè)Q為圓上任一點，線段QN的垂直平分線交直線MQ于點P．
（1）試討論動點P的軌跡類型；
（2）當(dāng)t=1時，設(shè)動點P的軌跡為曲線C，過C上任一點P作直線l，l與曲線C有且只有一個交點，l與圓M交于點AB，若△ABN的面積是
31
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過A、B兩點分別作拋物線C的切線l1、l2，切線l1與l2相交于點M．證明：點M定在直線y=-1上；
（3）橢圓E上是否存在一點M′，經(jīng)過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′、M′B′（A′、B′為切點），使得直線A′B′過點F？若存在，求出切線M′A′、M′B′的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
OP
=（x，y），將
OP
逆時針旋轉(zhuǎn)角θ到OP′，則點P′的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等邊△ABC中，|
AB
|=a，O為三角形的中心，過點O的直線交線段AB于M，交線段AC于N．有下列四個命題：
①
1
OM2
+
1
ON2
的最大值為
18
a2
，最小值為
15
a2
；
②
1
OM2
+
1
ON2
的最大值和最小值與a無關(guān)；
③設(shè)
AM
=m
AB
，
AN
=n
AC
，則
1
m
+
1
n
的值是與a無關(guān)的常數(shù)；
④設(shè)
AM
=m
AB
，
AN
=n
AC
，則
1
m
+
1
n
的值是與a有關(guān)的常數(shù)．
其中正確命題的序號為：
 
．（寫出所有正確結(jié)論的編號）

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