在等邊△ABC中,|
AB
|=a,O為三角形的中心,過點O的直線交線段AB于M,交線段AC于N.有下列四個命題:
1
OM2
+
1
ON2
的最大值為
18
a2
,最小值為
15
a2
;
1
OM2
+
1
ON2
的最大值和最小值與a無關(guān);
③設(shè)
AM
=m
AB
,
AN
=n
AC
,則
1
m
+
1
n
的值是與a無關(guān)的常數(shù);
④設(shè)
AM
=m
AB
AN
=n
AC
,則
1
m
+
1
n
的值是與a有關(guān)的常數(shù).
其中正確命題的序號為:
 
.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
考點:平面向量的基本定理及其意義
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用
分析:(1)要判斷
1
OM2
+
1
ON2
的最大值、最小值為多少,和a有無關(guān)系,想辦法求出OM,ON即可.在△AOM中,因為O為△ABC的中心,所以AO的長度能確定,∠MAO=30°,所以設(shè)∠AMO=θ,則由正弦定理即可表示出OM=
3
a
6sinθ
,同樣的辦法表示ON=
3
a
6sin(
3
-θ)
,這樣便把OM,ON用θ表示出來了,這樣便把
1
OM2
+
1
ON2
表示成了關(guān)于θ的函數(shù),所以求這個函數(shù)的最大值與最小值即可.
(2)要求
1
m
+
1
n
,先想著讓條件中出現(xiàn)
1
m
,
1
n
,所以由條件可得:
AB
=
1
m
AM
AC
=
1
n
AN
.又因為O是等邊三角形ABC的中心,所以
AO
=
1
3
AB
+
1
3
AC
=
1
3m
AM
+
1
3n
AN
,又因為M,O,N三點共線所以
1
3m
+
1
3n
=1
,這就可求得
1
m
+
1
n
=3
,這樣便可判斷③正確,④錯誤.
解答: 解:(1)設(shè)∠AMO=θ,則∠ANO=
3
π
6
≤θ≤
π
3
),AO=
3
a
3
;
∴在△AMO中,由正弦定理得:
3
a
3
sinθ
=
OM
1
2

∴OM=
3
a
6sinθ

在△ANO中,由正弦定理得:
3
a
3
sin(
3
-θ)
=
OM
1
2
;
∴ON=
3
a
6sin(
3
-θ)
;
1
OM2
+
1
ON2
=
12[sin2θ+sin2(
3
-θ)]
a2
=
12[
1-cos2θ
2
+
1-cos(
3
-2θ)
2
]
a2
12[1+
1
2
sin(2θ-
π
6
)]
a2
;
π
6
≤θ≤
π
3
,∴
π
6
≤2θ-
π
6
π
2

1
OM2
+
1
ON2
的最大值為
18
a2
,最小值為
15
a2

∴①正確,②錯誤.
(2)∵O為等邊△ABC的中心;
AO
=
1
3
AB
+
1
3
AC
;
又由已知得:
AB
=
1
m
AM
,
AC
=
1
n
AN
;
AO
=
1
3m
AM
+
1
3n
AN
;
又∵M,O,N三點共線;
1
3m
+
1
3n
=1
;
1
m
+
1
n
=3

∴③正確,④錯誤.
故答案為:①③.
點評:本題考查等邊三角形中心的性質(zhì),正弦定理,正弦函數(shù)的最值,二倍角的余弦公式,兩角差的正余弦公式,三點共線的特點.
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5
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x+1
+
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④對數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).
A、①②B、②③
C、①②④D、①②③④

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