【題目】設(shè)函數(shù), 函數(shù)
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)討論 與
的大小關(guān)系;
(3)求的取值范圍,使得
對任意的
都成立.
【答案】(1)減區(qū)間是,增區(qū)間是
,
;(2)
;(3)
.
【解析】分析:(1)由f(1)=0,且f′(x)=可得f(x)=lnx,從而化簡g(x)=f(x)+f′(x)=lnx+
,從而求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性及最小值;
(2)通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,半比較兩個函數(shù)的大小關(guān)系即可.
(3)利用(1)的結(jié)論,轉(zhuǎn)化不等式,求解即可.
詳解:(Ⅰ)由題設(shè)知f(x)=lnx,g(x)=lnx+,
∴g'(x)=,令g′(x)=0得x=1,
當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.
當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,
因此,x=1是g(x)的唯一值點,且為極小值點,
從而是最小值點,所以最小值為g(1)=1.
(II)
設(shè),則h'(x)=﹣
,
當(dāng)x=1時,h(1)=0,即,
當(dāng)x∈(0,1)∪(1,+∞)時,h′(1)<0,
因此,h(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,
當(dāng)0<x<1時,h(x)>h(1)=0,即,
當(dāng)x>1時,h(x)<h(1)=0,即.
(III)由(I)知g(x)的最小值為1,
所以,g(a)﹣g(x)<,對任意x>0,成立g(a)﹣1<
,
即Ina<1,從而得0<a<e.
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【題目】設(shè)函數(shù)(
且
)是奇函數(shù).
(1)求常數(shù)的值;
(2)若,試判斷函數(shù)
的單調(diào)性,并加以證明;
(3)若,且函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值為
,求實數(shù)
的值.
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【題目】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an= (n∈N*).若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6+b2 .
(1)求an和bn;
(2)設(shè)cn= (n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn .
(i)求Sn;
(ii)求正整數(shù)k,使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn .
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【題目】某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方向,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查,已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在D上的函數(shù),如果滿足:對任意
,存在常數(shù)
,都有
成立,則稱
是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)
的上界
已知函數(shù)
當(dāng)
,求函數(shù)
在
上的值域,并判斷函數(shù)
在
上是否為有界函數(shù),請說明理由;
若函數(shù)
在
上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且定義域為
.
(1)求關(guān)于的方程
在
上的解;
(2)若在區(qū)間
上單調(diào)減函數(shù),求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程
在
上有兩個不同的實根,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).現(xiàn)有下列命題:
①f(﹣x)=﹣f(x);
②f( )=2f(x)
③|f(x)|≥2|x|
其中的所有正確命題的序號是( )
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(an , bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).
(1)若a1=﹣2,點(a8 , 4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(a2 , b2)處的切線在x軸上的截距為2﹣ ,求數(shù)列{
}的前n項和Tn .
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【題目】某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,. 現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè) 為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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