Question

【題目】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an= （n∈N*）．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2 ．
（1）求an和bn；
（2）設(shè)cn= （n∈N*）．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn ．
（i）求Sn；
（ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1a2a3…an= （n∈N*） ①，

當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)， ②，

由①②知： ，

令n=3，則有 ．

∵b3=6+b2，

∴a3=8．

∵{an}為等比數(shù)列，且a1=2，

∴{an}的公比為q，則 =4，

由題意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．

∴ （n∈N*）．

又由a1a2a3…an= （n∈N*）得：

，

，

∴bn=n（n+1）（n∈N*）．

（2）解：（i）∵cn= = = ．

∴Sn=c1+c2+c3+…+cn

=

=

=

= ；

（ii）因?yàn)閏1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；

當(dāng)n≥5時(shí)，

，

而

= ＞0，

得

，

所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn＜0，

綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4

【解析】（1）先利用前n項(xiàng)積與前（n﹣1）項(xiàng)積的關(guān)系，得到等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)的值，結(jié)合首項(xiàng)的值，求出通項(xiàng)an ， 然后現(xiàn)利用條件求出通項(xiàng)bn；（2）（i）利用數(shù)列特征進(jìn)行分組求和，一組用等比數(shù)列求和公式，另一組用裂項(xiàng)法求和，得出本小題結(jié)論；（ii）本小題可以采用猜想的方法，得到結(jié)論，再加以證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．