Question

已知點A（5，0）和⊙B：（x+5）²+y²=36，P是⊙B上的動點，直線BP與線段AP的垂直平分線交于點Q．
（1）證明點Q的軌跡是雙曲線，并求出軌跡方程．
（2）若，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點Q在線段AP的垂直平分線上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出點Q的軌跡方程．
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，則．由，知，所以平行四邊形ABQC是菱形，由此能求出點Q的坐標．
解答：解：（1）∵點Q在線段AP的垂直平分線上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線．（4′）
其軌跡方程是．（7′）
（2）以A、B、Q為三個頂點作平行四邊形ABQC，
則∵，
∴，
∴平行四邊形ABQC是菱形，
∴．（8′）
∴點Q在圓（x+5）²+y²=100上．
解方程組．（10′）
得或．（12′）

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．