Question

14．已知定義在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）=$\frac{tanx}{tanx+1}$．
（1）求f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）當(dāng)實數(shù)m為何值時，關(guān)于x的方程f（x）=m在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）有解．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，f（x）=$\frac{tanx}{tanx+1}$，求f（x）在區(qū)間（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的解析式；
（2）分類討論，利用函數(shù)的解析式，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)$-\frac{π}{2}＜x＜0$，則$0＜-x＜\frac{π}{2}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，則有$f（x）=-f（-x）=-\frac{tan（-x）}{tan（-x）+1}=\frac{tanx}{1-tanx}$…（4分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{tanx}{tanx+1}，0＜x＜\frac{π}{2}}\\{0，x=0}\\{\frac{tanx}{1-tanx}，-\frac{π}{2}＜x＜0}\end{array}\right.$…（7分）
（2）設(shè)$0＜x＜\frac{π}{2}$，令t=tanx，則t＞0，而$y=f（x）=\frac{tanx}{tanx+1}=\frac{t}{t+1}=1-\frac{1}{1+t}$．
∵1+t＞1，得$0＜\frac{1}{1+t}＜1$，從而$0＜1-\frac{1}{1+t}＜1$，
∴y=f（x）在$0＜x＜\frac{π}{2}$的取值范圍是0＜y＜1．…（11分）
又設(shè)$-\frac{π}{2}＜x＜0$，則$0＜-x＜\frac{π}{2}$，
由此函數(shù)是奇函數(shù)得f（x）=-f（-x），0＜f（-x）＜1，從而-1＜f（x）＜0．…（13分）
綜上所述，y=f（x）的值域為（-1，1），所以m的取值范圍是（-1，1）．…（14分）

點評 本題考查奇函數(shù)的定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．