Question

2．函數(shù)f（x）=e^x（-x²+2x+a）在區(qū)間[a，a+1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a+2≥x²在[a，a+1]恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=e^x（-x²+2x+a），
f′（x）=e^x（-x²+a+2），
若f（x）在[a，a+1]上單調(diào)遞增，
則-x²+a+2≥0在[a，a+1]恒成立，
即a+2≥x²在[a，a+1]恒成立，
①a+1＜0即a＜-1時(shí)，y=x²在[a，a+1]遞減，
y=x²的最大值是y=a²，
故a+2≥a²，解得：a²-a-2≤0，解得：-1＜a＜2，不合題意，舍；
②-1≤a≤0時(shí)，y=x²在[a，0）遞減，在（0，a+1]遞增，
故y=x²的最大值是a²或（a+1）²，
③a＞0時(shí)，y=x²在[a，a+1]遞增，y的最大值是（a+1）²，
故a+2≥（a+1）²，解得：0＜a≤$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
則實(shí)數(shù)a的最大值為：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
綜上，a的最大值是$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．