已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5,BC=4,AC=3,MAB邊上的高,P是平面ABC外一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:

①若PA⊥平面ABC,則三棱錐PABC的四個(gè)面都是直角三角形;

②若PM⊥平面ABC,且MAB邊的中點(diǎn),則有PAPBPC;

③若PC=5,PC⊥平面ABC,則△PCM面積的最小值為;

④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC的內(nèi)切圓的圓心,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

其中正確命題的序號(hào)是________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)


①②④

[解析] 

對(duì)于①,如圖,因?yàn)?i>PA⊥平面ABC,所以PAAC,PAABPABC,又BCAC,所以BC⊥平面PAC,所以BCPC,故四個(gè)面都是直角三角形;

對(duì)于②,連接CM,當(dāng)PM⊥平面ABC時(shí),PA2PM2MA2,

PB2PM2BM2,PC2PM2CM2,

因?yàn)?i>M是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn),所以BMAMCM

PAPBPC;

對(duì)于③,當(dāng)PC⊥平面ABC時(shí),

SPCMPC·CM×5×CM.

CMAB時(shí),CM取得最小值,長(zhǎng)度為,

所以SPCM的最小值是×5×=6;

對(duì)于④,設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心是O,則PO⊥平面ABC,連接OC,則有PO2OC2PC2,

又內(nèi)切圓半徑r(3+4-5)=1,所以OC,PO2PC2OC2=25-2=23,故PO.

綜上,正確的命題有①②④.


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設(shè)a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“aα,bβ,且αβ”的平面α,β(  )

A.不存在                                                    B.有且只有一對(duì)

C.有且只有兩對(duì)                                          D.有無數(shù)對(duì)

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(2013·徐州模擬)如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中點(diǎn),問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

[

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 如圖,矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直,MBNC,MNMB.

(1)求證:平面AMB∥平面DNC;

(2)若MCCB,求證BCAC.

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四棱錐ABCDE的正視圖和俯視圖如下,其中俯視圖是直角梯形.

(1)若正視圖是等邊三角形,FAC的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動(dòng)時(shí),是否總有BFCM,請(qǐng)說明理由;

(2)若ABAC,平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°,求直線AD與平面ABE所成角的正弦值.

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一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是(  )

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某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為________.

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已知ab是兩條不同的直線,α,βγ是三個(gè)不同的平面,下列命題中:

①若αβaβγb,且ab,則αγ;

②若a,b相交,且都在α,β外,aα,aβ,bα,bβ,則αβ

③若αβ,αβa,bβ,ab,則bα

④若aα,bα,la,lb,則lα.其中正確命題的序號(hào)是(  )

A.①②③                                                    B.①③

C.②③                                                        D.①②③④

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PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PBPC,PDAC,BD,則下列垂直關(guān)系正確的是(  )

①面PAB⊥面PBC   ②面PAB⊥面PAD

③面PAB⊥面PCD   ④面PAB⊥面PAC

A.①②                                     B.①③

C.②③                                                        D.②④

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