已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5,BC=4,AC=3,M是AB邊上的高,P是平面ABC外一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題:
①若PA⊥平面ABC,則三棱錐P-ABC的四個(gè)面都是直角三角形;
②若PM⊥平面ABC,且M是AB邊的中點(diǎn),則有PA=PB=PC;
③若PC=5,PC⊥平面ABC,則△PCM面積的最小值為;
④若PC=5,P在平面ABC上的射影是△ABC的內(nèi)切圓的圓心,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.
其中正確命題的序號(hào)是________.(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
①②④
[解析]
對(duì)于①,如圖,因?yàn)?i>PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故四個(gè)面都是直角三角形;
對(duì)于②,連接CM,當(dāng)PM⊥平面ABC時(shí),PA2=PM2+MA2,
PB2=PM2+BM2,PC2=PM2+CM2,
因?yàn)?i>M是Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn),所以BM=AM=CM,
故PA=PB=PC;
對(duì)于③,當(dāng)PC⊥平面ABC時(shí),
S△PCM=PC·CM=×5×CM.
CM⊥AB時(shí),CM取得最小值,長(zhǎng)度為,
所以S△PCM的最小值是×5×=6;
對(duì)于④,設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心是O,則PO⊥平面ABC,連接OC,則有PO2+OC2=PC2,
又內(nèi)切圓半徑r=(3+4-5)=1,所以OC=,PO2=PC2-OC2=25-2=23,故PO=.
綜上,正確的命題有①②④.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β( )
A.不存在 B.有且只有一對(duì)
C.有且只有兩對(duì) D.有無數(shù)對(duì)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2013·徐州模擬)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,若D是棱CC1的中點(diǎn),問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使DE∥平面AB1C1?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直,MB∥NC,MN⊥MB.
(1)求證:平面AMB∥平面DNC;
(2)若MC⊥CB,求證BC⊥AC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下,其中俯視圖是直角梯形.
(1)若正視圖是等邊三角形,F為AC的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在棱AD上移動(dòng)時(shí),是否總有BF丄CM,請(qǐng)說明理由;
(2)若AB=AC,平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°,求直線AD與平面ABE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知a,b是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,下列命題中:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,則α∥γ;
②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,則α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,bβ,a⊥b,則b⊥α;
④若aα,bα,l⊥a,l⊥b,則l⊥α.其中正確命題的序號(hào)是( )
A.①②③ B.①③
C.②③ D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB,PC,PD,AC,BD,則下列垂直關(guān)系正確的是( )
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
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