Question

四棱錐A－BCDE的正視圖和俯視圖如下，其中俯視圖是直角梯形．

(1)若正視圖是等邊三角形，F為AC的中點，當(dāng)點M在棱AD上移動時，是否總有BF丄CM，請說明理由；

(2)若AB＝AC，平面ABC與平面ADE所成的銳二面角為45°，求直線AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

[解析]　(1)總有BF⊥CM，理由如下：

法一：取BC的中點O，連接AO，

由俯視圖可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，

所以AO⊥CD.

又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，故CD⊥BF.

因為△ABC為正三角形，F是AC的中點，

所以BF⊥AC.

又AC∩CD＝D，故BF⊥平面ACD，

因為CM⊂平面ACD，所以BF⊥CM.

法二：取BC的中點O，連接AO，由俯視圖可知，AO⊥平面BCDE，取DE中點H，連接OH，OH⊥BC，

以OC、OH、OA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

則A(0,0，)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2,0)，可求得F(，0，)，

設(shè)點M的橫坐標(biāo)為x，可求得點M(x,2x，(1－x))

故BF⊥CM.

(2)建系同上，設(shè)A(0,0，a)，(a>0)，

設(shè)平面ADE的法向量為m＝(x₁，y₁，z₁)，

取x₁＝1，y₁＝－2，z₁＝－，

可得m＝(1，－2，－)．

又平面ABC的法向量為n＝(0,1,0)，

設(shè)平面ABE的法向量為p＝(x₂，y₂，z₂)，