Question

15．已知$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1+tanθ}=k（\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}）$，則$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值（　　）

• A． 隨著k的增大而增大
• B． 隨著k的增大而減小
• C． 是一個與k無關(guān)的常數(shù)
• D． 有時隨k增大而增大，有時隨k增大而減小

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變化可得函數(shù)k=sin2θ在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值隨著k的增大而減小，從而得出結(jié)論．

解答 解：$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1+tanθ}=k（\frac{π}{4}＜θ＜\frac{π}{2}）$，
=$\frac{2sinθ（cosθ+sinθ）}{1+tanθ}$
=sin2θ，
故函數(shù)k=sin2θ在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上為減函數(shù)，
則$sin（θ+\frac{π}{4}）$的值隨著k的增大而減小，
故選：A．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．