已知拋物線的焦點(diǎn)分別為,交于兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交的下半部分于點(diǎn),交的左半部分于點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為,求△面積的最小值.
(1);(2)8.

試題分析:本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、向量垂直的充要條件、兩點(diǎn)間距離公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到向量坐標(biāo),聯(lián)立2個(gè)拋物線方程,解方程組,可求出A點(diǎn)坐標(biāo),從而得到向量的坐標(biāo),由于,所以,利用這個(gè)方程解出P的值,從而得到拋物線的方程;第二問,先設(shè)出過點(diǎn)O的直線方程,直線和拋物線聯(lián)立,得到M點(diǎn)坐標(biāo),直線和拋物線聯(lián)立得到N點(diǎn)坐標(biāo),由于,利用兩點(diǎn)間距離公式得到3個(gè)邊長,再利用基本不等式求面積的最小值.
試題解析:(1)由已知得:,,∴       1分
聯(lián)立解得,即,
                                     3分
,∴ ,即,解得,∴的方程為.                                     5分
『法二』設(shè),有①,由題意知,,,∴                                          1分
,∴ ,有,
解得,                                           3分
將其代入①式解得,從而求得,
所以的方程為.                                 5分
(2)設(shè)過的直線方程為
聯(lián)立,聯(lián)立      7分
在直線上,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,點(diǎn)到直線的距離為
                               8分


   10分       
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“”成立,即當(dāng)過原點(diǎn)直線為時(shí),11分
面積取得最小值.                          12分

『法二』聯(lián)立,
聯(lián)立,                   7分
從而,
點(diǎn)到直線的距離,進(jìn)而
                   9分
,有,    11分
當(dāng),即時(shí),
即當(dāng)過原點(diǎn)直線為時(shí),△面積取得最小值.                        12分
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(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作軌跡的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,設(shè)切線的斜率分別為,,直線的斜率為,求證:

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(1)求拋物線的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
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