Question

已知函數(shù)y=(log2

x

4

)•(log4

x

2

)，x∈[2，4]
（1）求當(dāng)x=4

2

3

時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；
（2）求函數(shù)y的最大值和最小值，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將x=4

2

3

代入進(jìn)行求解即可；
（2）令log₂x=t，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)，然后進(jìn)行配方得到對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)y的最值，然后求出相應(yīng)的x即可．

解答：解：（1）y=

1

2

（log₂x-2）（log₂x-1）
當(dāng)x=4

2

3

時(shí)，

1

2

（

4

3

-2）（

4

3

-1）=

1

6

×（-

2

3

）=-

1

9

（2）令log₂x=t，x∈[2，4]則t∈[1，2]
∴y=

1

2

(log2x-2)(log2x-1)=

1

2

(t-2)(t-1)
=

1

2

(t2-3t+2)=

1

2

(t-

3

2

)2-

1

8

①
t=

3

2

時(shí)ymin=-

1

8

此時(shí)x=2

2

t=1或2時(shí)，y_max=0此時(shí)x=2或4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)考查了換元法的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．