Question

4．已知集合A={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m∈Z，N∈Z}
（1）證明：任何整數(shù)都是A的元素．
（2）設(shè)x₁，x₂∈A，求證：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 （1）分當(dāng)n≠0和當(dāng)n=0兩種情況，利用A中元素的形態(tài)分別討論即可．
（2）若x₁、x₂∈M，則x₁=a+$\sqrt{2}$b，x₂ =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，分別計(jì)算x₁•x₂ 的形態(tài)，從而確定與集合A的關(guān)系．

解答 證明：（1）∵A={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z}，
∴當(dāng)n≠0時(shí)，x為無(wú)理數(shù)，
當(dāng)n=0時(shí)，x為整數(shù)，
∴任何整數(shù)都是A的元素．
（2）若x₁、x₂∈A，則x₁=a+$\sqrt{2}$b，x₂ =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，
根據(jù) x₁x₂ =ac+2bd+（ad+bc）$\sqrt{2}$，仍是m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z的形式，
故x₁x₂ 屬于集合A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查元素與集合的關(guān)系的判定，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．