Question

16．已知函數(shù)$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$，g（x）=3ax+1-a，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）當a=1時，判斷函數(shù)h（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性及零點個數(shù)；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結合反比例函數(shù)的單調(diào)性和復合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$在（1，+∞）上為增函數(shù)，當a=1時，g（x）=3ax+1-a=3x為增函數(shù)，根據(jù)“增+增=增”，可得函數(shù)h（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；再由零點存在定理，可得函數(shù)零點的個數(shù)；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根，則方程$-\frac{2}{a}=（3x-1）（x+1）$，（x＜-1，或x＞1）有兩個不相等實數(shù)根，進而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$=1-$\frac{2}{x+1}$，則函數(shù)在（1，+∞）上為增函數(shù)，且恒為正，
故函數(shù)$f（x）={log_2}^{\frac{x-1}{x+1}}$在（1，+∞）上為增函數(shù)，
當a=1時，g（x）=3ax+1-a=3x為增函數(shù)，
故h（x）=f（x）+g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
由h（1.1）=3.3-log₂21＜0，h（2）=6-log₂3＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上有且只有一個零點．
（2）方程f（x）=log₂g（x）可化為：${lo{g}_{2}}^{\frac{x-1}{x+1}}$=log₂（3ax+1-a），
即$\frac{x-1}{x+1}$=3ax+1-a，
即$-\frac{2}{a}=（3x-1）（x+1）$，（x＜-1，或x＞1），
令v（x）=（3x-1）（x+1），
則v（-1）=0，v（1）=4，
若關于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根，則$-\frac{2}{a}＞4$，
解得a的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，0）$．

點評 本題考查的知識點是復合函數(shù)的單調(diào)性，根的存在性及個數(shù)判斷，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，難度中檔．