20．如圖，在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：
（1）A1C⊥平面BDC1；
（2）求三棱錐A1-BDC1的體積．

分析 （1）A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影，AC⊥BD，則A1C⊥BD，同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知A1C⊥平面BDC1．
（2）利用正方體的體積減去4個三棱錐的體積，即可求三棱錐A1-BDC1的體積．

解答 （1）證明：∵A1A⊥底面ABCD，則AC是A1C在底面ABCD的射影．
∵AC⊥BD．∴A1C⊥BD．
同理A1C⊥DC1，又BD∩DC1=D，
∴A1C⊥平面BDC1．
（2）解：三棱錐A1-BDC1的體積=1-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本小題主要考查線面關(guān)系，以及三棱錐A1-BDC1的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理運算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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（2）求證：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N*）是正整數(shù)；
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