Question

15．已知a_n=n+2，從無窮數(shù)列{a_n}中抽取部分項a${\;}_{{k}_{1}}$，a${\;}_{{k}_{2}}$，…a${\;}_{{k}_{3}}$，…組成一個等比數(shù)列{b_n}，其中1=k₁＜k₂＜k₃＜…＜k_n＜k_n+1＜…，（n∈N^*），k_n∈N^*，記這個等比數(shù)列的公比為q．
（1）求證：q∈N^*，q≥2；
（2）求證：$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N^*）是正整數(shù)；
（3）設數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，若存在n∈N^*，使S_n≥qⁿ成立，求q的所有可能取值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項，即可得證；
（2）由（1）的結(jié)論和公式$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$=q^n-1+q^n-2+…+q+1，即可得證；
（3）由（1）的結(jié)論，列舉q=2，3，4，…，再由二項式定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：由于a_n=n+2為整數(shù)，
等比數(shù)列{b_n}中各項均為整數(shù)，
即有公比q為正整數(shù)，又a${\;}_{{k}_{1}}$=a₁=3，
a${\;}_{{k}_{2}}$=k₂+2=3q≥2+2，
即q≥$\frac{4}{3}$，由q為整數(shù)，
則q≥2；
（2）證明：由b_n=b₁q^n-1=3q^n-1，
由（1）q為正整數(shù)，
由$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$=q^n-1+q^n-2+…+q+1，
q^n-1，q^n-2，…，q均為正整數(shù)，
則$\frac{{q}^{n}-1}{q-1}$（n∈N^*）是正整數(shù)；
（3）解：S_n=$\frac{n（n+5）}{2}$，
若存在n∈N^*，使S_n≥qⁿ成立，
即有$\frac{n（n+5）}{2}$≥qⁿ，（q∈N^*，q≥2），
當q=2時，n=1，有3＞2成立；
當q=3時，n=1，有3=3成立；
當q≥4時，qⁿ＞4ⁿ，
由2•4ⁿ-（n²+5n）=2²ⁿ⁺¹-（n²+5n）
＞1+（2n+1）+$\frac{1}{2}$•2n•（2n+1）-n²+5n
=n²-2n+2＞0，
即有4ⁿ＞$\frac{1}{2}$（n²+5n），
則有$\frac{n（n+5）}{2}$＜qⁿ，
綜上可得q的取值為2，3．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查不等式的解法，屬于中檔題．