Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=0，若過A，Q，F(xiàn)₂三點的圓恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切．過定點M（0，2）的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l₁的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數(shù)λ滿足

MG

=λ

MH

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為2

F1F2

+

F2Q

=0，知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程；
（II）由（I）知設l₁的方程為y=kx+2，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量(

PG

+

PH

)•

GH

=0的坐標表示即可求得滿足題意的點P且m的取值范圍．
（Ⅲ）先分兩種情況討論：①當直線l₁斜率存在時，設直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量(

PG

+

PH

)•

GH

=0的坐標表示即可求得滿足題意的λ的取值范圍；②又當直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，同樣利用向量的坐標運算求λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為2

F1F2

+

F2Q

=0，
所以F₁為F₂Q中點．
設Q的坐標為（-3c，0），
因為AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且過A，Q，F(xiàn)₂三點的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c．（2分）
因為該圓與直線l相切，所以

|-c-3|

2

=2c．
解得c=1，所以a=2，b=

3

．
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）設l₁的方程為y=kx+2（k＞0），
由

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則x1+x2=-

16k

3+4k2

．（5分）
所以

PG

+

PH

=(x1-m，y1)+(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）

GH

=(x2-x1， y2-y1)=(x2-x1， k(x2-x1))．
由于菱形對角線互相垂直，則(

PG

+

PH

)•

GH

=0．（6分）
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因為k＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0
即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以(1+k2)(-

16k

3+4k2

)+4k-2m=0
解得m=-

2k

3+4k2

．即m=-

2

3 k +4k

．
因為k＞0，所以-

3

6

≤m＜0．
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是[-

3

6

，0)．（8分）
（Ⅲ）①當直線l₁斜率存在時，
設直線l₁方程為y=kx+2，代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1
得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
由△＞0，得k2＞

1

4

．（9分）
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
則x1+x2=-

16k

3+4k2

，x1x2=

4

3+4k2

．
又

MG

=λ

MH

，所以（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2）．所以x₁=λx₂．（10分）
所以x₁+x₂=（1+λ）x₂，x₁x₂=λx₂²．
所以(

x1+x2

1+λ

)2=

x

2 2

=

x1x2

λ

．將上式代入整理得：

64

3 k2 +4

=

(1+λ)2

λ

．（11分）
因為k2＞

1

4

，所以4＜

64

3 k2 +4

＜16．即4＜

(1+λ)2

λ

＜16．
所以4＜λ+

1

λ

+2＜16．
解得7-4

3

＜λ＜7+4

3

．
又0＜λ＜1，所以7-4

3

＜λ＜1．（13分）
②又當直線l₁斜率不存在時，直線l₁的方程為x=0，
此時G(0，

3

)，H(0，-

3

)，

MG

=(0，

3

-2)，

MH

=(0，-

3

-2)，

MG

=

2- 3

2+ 3

MH

，所以λ=7-4

3

．所以7-4

3

≤λ＜1，即所求λ的取值范圍是[7-4

3

， 1)．（14分）

點評：當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．