設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在正實數(shù)k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)為D上的“k型增函數(shù)”.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=|x-a|-2a,若f(x)為R上的“2011型增函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是________.
分析:由題意可以得到
再由定義存在正實數(shù)k,使對任意x∈D,都有x+k∈D,且f(x+k)>f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)為D上的“k型增函數(shù)”.對所給的問題分自變量全為正,全為負,一正一負三類討論,求出參數(shù)所滿足的共同范圍即可.
解答:∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=|x-a|-2a,
∴
又f(x)為R上的“2011型增函數(shù)”,
當x>0時,由定義有|x+2011-a|-2a>|x-a|-2a,即|x+2011-a|>|x-a|,其幾何意義為到點a小于到點a-2011的距離,由于x>0故可知a+a-2011<0得a<
當x<0時,分兩類研究,若x+2011<0,則有-|x+2011+a|+2a>-|x+a|+2a,即|x+a|>|x+2011+a|,其幾何意義表示到點-a的距離小于到點-a-2011的距離,由于x<0,故可得-a-a-2011>0,得a<
;若x+2011>0,則有|x+2011-a|-2a>-|x+a|+2a,即|x+a|+|x+2011-a|>4a,其幾何意義表示到到點-a的距離與到點a-2011的距離的和大于4a,當a≤0時,顯然成立,當a>0時,由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|,故有|2a-2011|>4a,必有2011-2a>4a,解得
綜上,對x∈R都成立的實數(shù)a的取值范圍是
故答案為:
.
點評:本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合,解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式,理解本題中所給的定義,以及根據(jù)函數(shù)解析式對問題分為三部分來求解,最后求出三部分中的公共部分的取值范圍作為實數(shù)a的取值范圍是本題中的一個疑點,也是易錯點,一般分類求解都是求并集,而本題因為是研究的定義域各個部分上成立的參數(shù)的范圍,故在整個定義域上都成立的參數(shù)的范圍應該是三部分中都成立的范圍的公共部分,對此邏輯關系一定要理解清楚.題后可以找一些分類討論的題對比著題設條件好好理解領會一下.