Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

分析：由題意可以得到再由定義存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）為D上的“k型增函數(shù)”．對所給的問題分自變量全為正，全為負，一正一負三類討論，求出參數(shù)所滿足的共同范圍即可．
解答：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=|x-a|-2a，
∴
又f（x）為R上的“2011型增函數(shù)”，
當x＞0時，由定義有|x+2011-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2011-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點a小于到點a-2011的距離，由于x＞0故可知a+a-2011＜0得a＜
當x＜0時，分兩類研究，若x+2011＜0，則有-|x+2011+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其幾何意義表示到點-a的距離小于到點-a-2011的距離，由于x＜0，故可得-a-a-2011＞0，得a＜；若x+2011＞0，則有|x+2011-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011-a|＞4a，其幾何意義表示到到點-a的距離與到點a-2011的距離的和大于4a，當a≤0時，顯然成立，當a＞0時，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|，故有|2a-2011|＞4a，必有2011-2a＞4a，解得
  綜上，對x∈R都成立的實數(shù)a的取值范圍是 
故答案為：．
點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，理解本題中所給的定義，以及根據(jù)函數(shù)解析式對問題分為三部分來求解，最后求出三部分中的公共部分的取值范圍作為實數(shù)a的取值范圍是本題中的一個疑點，也是易錯點，一般分類求解都是求并集，而本題因為是研究的定義域各個部分上成立的參數(shù)的范圍，故在整個定義域上都成立的參數(shù)的范圍應該是三部分中都成立的范圍的公共部分，對此邏輯關系一定要理解清楚．題后可以找一些分類討論的題對比著題設條件好好理解領會一下．