19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC邊長為4，M（4，m）、N（n，4）分別是AB、BC上的兩個動點，且ON⊥MN，當(dāng)OM最小時，m+n=5．

分析 運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得4m=n2-4n+16=（n-2）2+12，即可得到n=2時m的最小值為3，此時OM最小，即可得到答案．

解答 解：由ON⊥MN，則kON•kMN=-1，
即有$\frac{4}{n}$•$\frac{4-m}{n-4}$=-1，即4m=n2-4n+16=（n-2）2+12，
當(dāng)n=2時，4m取得最小值12，此時m=3．
OM最小為$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
則m+n=3+2=5．
故答案為：5．

點評 本題考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時考查二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．

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（1）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PM；
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