Question

（2013•遼寧）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，則C的離心率為（　�。�

• A．

  3

  5

• B．

  5

  7

• C．

  4

  5

• D．

  6

  7

Answer 1

分析：在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，即可得到|BF|，設(shè)F^′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF^′，AF^′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF^′是矩形．
即可得到a，c，進(jìn)而取得離心率．

解答：解：如圖所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
∴62=102+|BF|2-20|BF|×

4

5

，化為（|BF|-8）²=0，解得|BF|=8．
設(shè)F^′為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF^′，AF^′．根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF^′是矩形．
∴|BF^′|=6，|FF^′|=10．
∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．
∴e=

c

a

=

5

7

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握余弦定理、橢圓的定義、對(duì)稱性、離心率、矩形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．