Question

1．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），則f（x）的值域為[5，9]．

Answer 1

分析 由基本不等式便可得出x=2時，f（x）≥5，再根據(jù)f（x）在[0，3]上的單調(diào)性，從而得出f（x）在[0，3]上的最小、最大值，從而得出f（x）的值域．

解答 解：根據(jù)函數(shù)f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），
可得f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$-1≥6-1=5，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，取等號．
又f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增；
又f（0）=9，f（3）=$\frac{21}{4}$；
∴f（x）在[0，3]上的最小值為5，最大值為9；
∴f（x）的值域為[5，9]．
故答案為：[5，9]．

點評 本題主要考查基本不等式在求函數(shù)最小值中的運用，應(yīng)用基本不等式注意判斷等號能否取到，函數(shù)值域的概念，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，要熟悉函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．