Question

若P（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，求過(guò)P的橢圓的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)橢圓的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出y的導(dǎo)數(shù)；然后求出切線的斜率，即可得出切線的點(diǎn)斜式方程，據(jù)此解答即可．

解答： 解：由

x2

a2

+

y2

b2

=1，
可得y=±

b2- b2x2 a2

，
所以y′=±

2b2x a2

2 b2- b2x2 a2

=±

bx

a a2-x2

，
所以過(guò)P的橢圓的切線的斜率為：±

bx0

a a2-x02

；
又因?yàn)镻（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
所以

x02

a2

+

y02

b2

=1，
可得a2-x02=

a2y02

b2

，
所以過(guò)P的橢圓的切線的斜率為：±

bx0

a a2-x02

=

b2x0

a2y0

，
所以過(guò)P的橢圓的切線方程為：y-y₀=

b2x0

a2y0

（x-x₀），
整理，可得過(guò)P的橢圓的切線方程為

x0x

a2

+

y0y

b2

=1，
即b2x0x+a2y0y-a2b2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)P的橢圓的切線的斜率．