Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+lnx，若對任意的a∈[

1

e

，2e²]，函數(shù)f（x）滿足任意的x∈[1，e]都有f（x）＜m，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

+lnx，
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

，
∵a∈[

1

e

，2e²]，
∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（e）=e+1+

a

e

，
∵a∈[

1

e

，2e²]，
∴f（x）_max=3e+1，
∴m＞3e+1．

點評：本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．