Question

設(shè)△ABCABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，
（1）判定b+c-a，a+b-c，c+a-b的符號(hào)；
（2）求證：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形任意兩邊任何大于第三邊直接求解
（2）對(duì)

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

提出

1

a+b+c

并乘以（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）=a+b+c保證式子不變．然后把（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得到與a+b+c的關(guān)系．

解答：解：（1）因?yàn)閍，b，c的三角形的三邊，
所以根據(jù)三角形任意兩邊任何大于第三邊，有：
b+c-a＞0
a+b-c＞0
c+a-b＞0
（2）

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

=

1

a+b+c

•（

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

）•[（b+c-a）+（a+b-c）+（c+a-b）]
≥

1

a+b+c

（

a2 b+c-a

•

b+c-a

+

b2 c+a-b

•

a+b-c

+

c2 a+b-c

• 

c+a-b

）²

=

1

a+b+c

•（a+b+c）²
=a+b+c
即：

a2

b+c-a

+

b2

c+a-b

+

c2

a+b-c

≥a+b+c．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，也考查對(duì)于等式和不等式的化簡(jiǎn)，需要熟練準(zhǔn)確的進(jìn)行計(jì)算，本題屬于中檔題．