Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，M，N分別為其左右頂點．過F₂的直線l與橢圓相交于A，B兩點．當直線l與x軸垂直時，四邊形AMBN的面積等于2，且滿足|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）當直線l繞著焦點F₂旋轉不與x軸重合時，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當直線l與x軸垂直時，由s_AMBN=$\frac{1}{2}•2a•\frac{2^{2}}{a}=2$，得b．
又|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|，所以a+c=$\sqrt{2}•\frac{2^{2}}{a}+a-c$，即ac=$\sqrt{2}$，又a²=c²+1，解得a即可．
（2）設A，（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而M（-$\sqrt{2}$，0），N（$\sqrt{2}$，0）
所以$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{AN}=（\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，$\overrightarrow{BN}=（\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$．從而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$（-\sqrt{2}-{x}_{1}）（\sqrt{2}-{x}_{1}）+（-\sqrt{2}-{x}_{2}）（\sqrt{2}-{x}_{2}）$+${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂-4．再利用韋達定理及函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）當直線l與x軸垂直時，由s_AMBN=$\frac{1}{2}•2a•\frac{2^{2}}{a}=2$，得b=1．
又|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|，所以a+c=$\sqrt{2}•\frac{2^{2}}{a}+a-c$，即ac=$\sqrt{2}$，又a²=c²+1，
解得a=$\sqrt{2}$．因此該橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設A，（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而M（-$\sqrt{2}$，0），N（$\sqrt{2}$，0）
所以$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{AN}=（\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，
$\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，$\overrightarrow{BN}=（\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$．
從而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$（-\sqrt{2}-{x}_{1}）（\sqrt{2}-{x}_{1}）+（-\sqrt{2}-{x}_{2}）（\sqrt{2}-{x}_{2}）$+${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂-4．
因為直線l過橢圓的焦點（1，0），所以可以設直線l的方程為x=ty+1 （t∈R），則
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$消去x并整理，得（t²+2）y²+2ty-1=0，
所以y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{t}^{2}+2}$．
進而x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{t}^{2}+2}$，x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=$\frac{2-2{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$，
可得有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$\frac{8}{（{t}^{2}+2）^{2}}-\frac{6}{{t}^{2}+2}$
令t²+2=m，則m≥2．從而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$\frac{8}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}=8（\frac{1}{m}-\frac{3}{8}）^{2}-\frac{9}{8}$，
而0＜$\frac{1}{m}≤\frac{1}{2}$，所以求得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$的取值范圍是[-$\frac{9}{8}$，0]．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量運算等運算能力，屬于中檔題．