Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將圓O：x²+y²=4上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{2}$，得到曲線C．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度，射線θ=α（ρ≥0）與圓O和曲線C分別交于點(diǎn)A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，令θ=α，則極坐標(biāo)系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α），則|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，即可求解．

解答 解：（1）圓的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）
根據(jù)題意，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）⇒$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$
⇒$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{4}+{ρ}^{2}si{n}^{2}θ=1$⇒極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$
 令θ=α，則極坐標(biāo)系中A$（\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}α}}}，α）$，B（$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，π+α）
則|AB|=2×$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}α}}$，
當(dāng)α=0時(shí)，|AB|取最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓、橢圓的參數(shù)方程，橢圓的極坐標(biāo)方程，解題關(guān)鍵是弄清極徑的含義，屬于中檔題．