Question

17．如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，有下列說法：
①若點P在△BDC₁所在平面上運動，則三棱錐P-AB₁D₁的體積為定值；
②直線 A₁C與平面BDC₁的交點為△BDC₁的外心；
③若點M、N、L分別是棱A₁B₁，A₁D₁，A₁A上與端點不重合的三個動點，則△MNL必為銳角三角形；
④若點Q為的中點，點G為正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)的一個動點，且始終滿足GQ⊥A₁C，則動點G的軌跡是以A₁為圓心，$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$a為半徑的一段圓�。�
其中正確說法有①②③（寫出所有正確說法的序號）

Answer 1

分析 抓住正方體的特征，依次對每一個選擇判斷即可得到答案．

解答 解：對于①：點P在△BDC₁所在平面上運動，平面△BDC₁與平面AB₁D₁之間的距離就是三棱錐P-AB₁D₁高沒有變，而底面積AB₁D₁也沒有變，則三棱錐P-的體積為定值；故①正確．
對于②：連接BD₁，BD₁與直線 A₁C垂直，A₁C垂直平面BDC₁，與BD₁交點正方體的中心，即也是長方形ABC₁D₁對角線，所以為△BDC₁的外心．故②正確．
對于③：點M、N、L分別是棱A₁B₁，A₁D₁，A₁A上與端點不重合的三個動點，MN，ML，NL形成的直線的夾角小于90°，則△MNL必為銳角三角形；故③正確．
對于④：若點Q為A₁A的中點，點G為正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁（包含邊界）內(nèi)的一個動點，且始終滿足GQ⊥A₁C，則動點G是接連A₁B₁，A₁D₁中點的線段．故④不正確．
綜上所述：正確的是：①②③
故答案為①②③．

點評 本題考查了命題的真假的判斷與運用能力，以正方體的幾何特征為載體，考查體積的變化，角度的變化以及動點構(gòu)成的圖形．屬于中檔題．