Question

已知雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1的兩條漸近線方程分別為l₁，l₂，A，B分別為l₁，l₂上的兩點，|AB|=

2

，且動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C₂；
（Ⅱ）過點S（0，-

3

5

）且斜率為k的動直線l交曲線C₂于E，F(xiàn)兩點，在y軸上是否存在定點M，使以EF為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1的兩條漸近線方程分別為l₁：y=

2

2

x；l₂：y=-

2

2

x．由于A，B分別為l₁，l₂上的兩點，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則y1=

2

2

x1，y2=-

2

2

x2．設(shè)P（x，y），由于動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，可得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂=

2

2

(x1-x2)．利用|AB|=

2

，可得

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

．即(x1-x2)2+

1

2

(x1+x2)2=2，即可得出．
（II）設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄）．過點S（0，-

3

5

）且斜率為k的動直線l的方程為：y=kx-

3

5

．與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，假設(shè)在y軸上存在定點M（0，m），使以EF為直徑的圓恒過這個點．則

ME

•

MF

=0．再利用數(shù)量積運算即可得出．

解答： 解：（I）雙曲線C₁：

x2

2

-y2=1的兩條漸近線方程分別為l₁：y=

2

2

x；l₂：y=-

2

2

x．
∵A，B分別為l₁，l₂上的兩點，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則y1=

2

2

x1，y2=-

2

2

x2．
設(shè)P（x，y），∵動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

，∴（x，y）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂=

2

2

(x1-x2)．
∵|AB|=

2

，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

．
∴(x1-x2)2+

1

2

(x1+x2)2=2，
∴2y2+

1

2

x2=2，
化為

x2

4

+y2=1，即為點P的軌跡方程C₂；
（II）設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄）．
過點S（0，-

3

5

）且斜率為k的動直線l的方程為：y=kx-

3

5

．
聯(lián)立

y=kx- 3 5 x2+4y2=4

，化為（25+100k²）x²-120kx-64=0．
∴x3+x4=

120k

25+100k2

，x3x4=

-64

25+100k2

．
y₃y₄=(kx3-

3

5

)(kx4-

3

5

)=k²x₃x₄-

3

5

k(x3+x4)+

9

25

．
y₃+y₄=k(x3+x4)-

6

5

．
假設(shè)在y軸上存在定點M（0，m），使以EF為直徑的圓恒過這個點．
則

ME

•

MF

=0．
∴（x₃，y₃-m）•（x₄，y₄-m）=x₃x₄+（y₃-m）（y₄-m）=x₃x₄+y₃y₄-m（y₃+y₄）+m²=0．
∴（1+k²）x₃x₄-(

3

5

k+mk)(x3+x4)+

9

25

+

6

5

m+m²=0．
∴

-64(1+k2)

25+100k2

-(

3

5

k+mk)•

120k

25+100k2

+

9

25

+

6

5

m+m2=0．
化為：k²（20m²-20）+5m²+6m-11=0．
令

20m2-20=0 5m2+6m-11=0

，解得m=1．
因此定點M（0，1），使以EF為直徑的圓恒過這個點．

點評：本題考查了雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．