Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在線段CA₁上，且不與點C、A₁重合．
（1）若

CA1

=4

CF

，求平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值；
（2）求點F到直線AB距離d的最小值．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,用空間向量求平面間的夾角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值．
（2）設(shè)F（0，t，4-t），（0＜t＜4），利用向量法能示出點F到直線AB距離d的最小值．

解答： 解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則由已知得：A（0，0，0），B（2

3

，2，0），
C（0，4，0），A₁（0，0，4），E（

3

，3，0）
F（0，3，1）于是

AF

=(0，3，1)，

AE

=(

3

，3，0)．
設(shè)平面AEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AF =0 n • AE =0

，
即

x-y-2=0 3y+z=0

，取y=-1，得

n

=(

3

，-1，3)
取平面ACF的法向量為

m

=(1，0，0)，
設(shè)平面AEF與平面ACF的夾角為θ，則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

3

13

=

39

13

．
∴平面AEF與平面ACF的夾角的余弦值為

39

13

．
（2）設(shè)F（0，t，4-t），（0＜t＜4），

AF

=(0，t，4-t)，

AB

=(2

3

，2，0)．
cos＜

AF

，

AB

＞=

t

2 t2+(4-t)2

，
d=|

AF

|•|sin＜

AF

，

AB

＞|
=|

AF

|•

1-cos2＜ AF ， AB ＞

=

7t2-32t+64

2

，
當(dāng)t=

16

7

時，dmin=

4 21

7

，
∴點F到直線AB距離d的最小值為

4 21

7

．

點評：本題考查平面與平面夾角的余弦值的求法，考查點到直線的距離的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．