Question

過(guò)拋物線y²=4x的頂點(diǎn)作射線OA，OB與拋物線交于A，B，若

OA

•

OB

=2，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB方程，代入拋物線方程y²=4x，得ky²-4y+4m=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

OA

•

OB

=2，求出AB的方程，即可證明直線AB過(guò)定點(diǎn)．

解答： 解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
y=kx+m代入拋物線y²=4x，即：ky²-4y+4m=0--------------（2分）
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4m

k

-------------------------------------------（3分）
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2，
∴m²+4km-2k²=0---------------------------------（7分）
∴m=（2±

6

）k，
直線AB的方程：y=k（x-2-

6

），或y=y=k（x-2+

6

），---------------（9分）
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)M（2+

6

，0），或N（2-

6

，0）----------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，證明直線AB必過(guò)定點(diǎn)時(shí)，要熟練掌握其中設(shè)而不求的解題思想．