Question

已知（1+2x）ⁿ的展開式中，第六項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
（1）求n的值；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由（1+2x）ⁿ的展開式中，第六項(xiàng)和第七項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大即c_n⁵=C_n⁶且最大，可求n
（2）由（1）可知n=11，設(shè)（1+2x）¹¹展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)第r+1項(xiàng)T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r，則

tr+1≥tr tr+1≥tr+2

，代入解不等式可求r

解答：解：（1）∵第六項(xiàng)、第七項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大
∴c_n⁵=C_n⁶且最大
∴n=11 （4分）
（2）設(shè)（1+2x）¹¹展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)第r+1項(xiàng)T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r
則

C r 11 2r≥  C r-1 11 2r-1 C r 11 2r≥ C r+1 11 2r+1

，
則7≤r≤8
∵r∈N^*∴r=7或r=8
r=7時(shí)，T₈=C₁₁⁷•2⁷•x⁷=42240x⁷
r=8時(shí)，T₉=C₁₁⁸•2⁸•x⁸=42240x⁸
即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即第八項(xiàng)42240 x⁷與第九項(xiàng)42240 x⁸（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng) 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的 系數(shù)的應(yīng)用，及理由數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列最大（�。╉�(xiàng)，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．