Question

6．已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥CD；
（2）求直線AC與平面CBE所成角大小的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD的中點(diǎn)G，連接AG、GF，由三角形中位線定理可得GF∥DE，再由AC=AD得AG⊥GD，結(jié)合已知得到DE⊥CD，即GF⊥CD，最后由線面垂直的判斷和性質(zhì)證得AF⊥CD；
（2）法一、建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用空間向量求出$\overrightarrow{CA}$與平面CBE的法向量所成角的余弦值，從而得到直線AC與平面CBE所成角正弦值；
法二、由線面垂直的性質(zhì)得AB∥DE，延長DA、EB交于點(diǎn)P，連結(jié)PC，可得PC∥AG．進(jìn)一步得到PC⊥平面CDE．求出點(diǎn)A到平面PCE的距離$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．則直線AC與平面CBE所成角的正弦值可求．

解答 （1）證明：取CD的中點(diǎn)G，連接AG、GF，
則GF∥DE，
∵AC=AD，∴AG⊥GD，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，
∴GF⊥CD，
∴CD⊥平面AGF．
∵AF?平面AGF，∴AF⊥CD；
（2）解：法一、如圖建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，
則B（0，1，$\sqrt{3}$），C（-1，0，0），E（1，2，0），
$\overrightarrow{CB}=（1，1，\sqrt{3}），\overrightarrow{CE}=（2，2，0）$$\overrightarrow{CA}=（1，0，\sqrt{3}）$，
設(shè)平面CBE的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線AC與平面CBE所成角的大小的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
解法二、∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．
延長DA、EB交于點(diǎn)P，連結(jié)PC，
∵AB=1，DE=2，∴A為PD的中點(diǎn)，
又G為CD的中點(diǎn)，∴PC∥AG．
∴PC⊥CD，PC⊥DE，∴PC⊥平面CDE．
∵點(diǎn)A到平面PCE的距離即為點(diǎn)D到平面PCE的距離的一半，即$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
設(shè)直線AC與平面CBE所成角為θ，
則$sinθ=\frac{h}{AC}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和平面垂直的性質(zhì)，考查了線面角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．