Question

15．已知二項(xiàng)式（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$項(xiàng)的系數(shù)為20，則${∫}_{a}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理求出a的值，然后根據(jù)積分公式即可得到結(jié)論．

解答 解：二項(xiàng)式二項(xiàng)式（x-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的通項(xiàng)為（-a）^rC₆^rx${\;}^{6-\frac{3r}{2}}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=$\frac{3}{2}$，解得r=3，
∴（-a）³C₆³=20，
解得a=-1，
∴${∫}_{a}^{1}（\sqrt{1-{x}^{2}}）dx$=${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，表示以原點(diǎn)為圓心以1為半徑的圓的面積的二分之一，
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理以及的定積分的計算，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．