Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為（其中為常數(shù)）．

（1）若直線與曲線恰好有一個公共點，求實數(shù)的值；

（2）若，求直線被曲線截得的弦長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）將直線的極坐標(biāo)方程可化為直線坐標(biāo)方程，曲線的參數(shù)方程可化為普通方程，然后將兩個方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，由直線和曲線恰好有一個公共點，得，即可求解；

（2）當(dāng)時，直線恰好過拋物線的焦點，聯(lián)立得方程組，消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后由韋達(dá)定理及拋物線過焦點的弦長公式，即可求得弦長.

試題解析： （1）直線的極坐標(biāo)方程可化為直線坐標(biāo)方程：，曲線的參數(shù)方程可化為普通方程：，

由，可得，

因為直線和曲線恰好有一個公共點，

所以，所以．

（2）當(dāng)時，直線恰好過拋物線的焦點，

由，可得，

設(shè)直線與拋物線的兩個交點分別為，則，

故直線被拋物線所截得的弦長為