Question

15．已知f（x）=（x²-3）e^x（其中x∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)t₁＞0時(shí)，關(guān)于x的方程[f（x）-t₁][f（x）-t₂]=0恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t₂的取值范圍是（　�。�

• A． （-2e，0）
• B． （-2e，0]
• C． [-2e，6e^-3]
• D． （-2e，6e^-3）

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，畫出f（x）的大致圖象，討論t₁的范圍，確定t₂的范圍，通過圖象即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）=（x²-3）e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（x²+2x-3）e^x=（x-1）（x+3）e^x，
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)x＞1或x＜-3時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
可得f（x）的極小值為f（1）=-2e，極大值為f（-3）=6e^-3，
作出y=f（x）的圖象，如圖：
當(dāng)t₁＞0時(shí)，關(guān)于x的方程[f（x）-t₁][f（x）-t₂]=0
恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根，
即為f（x）=t₁或f（x）=t₂恰好有5個(gè)實(shí)數(shù)根，
若t₁＞6e^-3，f（x）=t₁只有一個(gè)實(shí)根，不合題意；
若0＜t₁＜6e^-3，f（x）=t₁有三個(gè)實(shí)根，只要-2e＜t₂≤0，滿足題意；
若t₁=6e^-3，f（x）=t₁有兩個(gè)實(shí)根，只要0＜t₂＜6e^-3，滿足題意；
綜上可得，t₂的范圍是（-2e，6e^-3）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題．