Question

設(shè)一正方形邊長為1，取各邊的中點(diǎn)連成一個(gè)新的正方形，記其面積為a₁，然后在得到的新正方形中，再連接各邊中點(diǎn)，又得到一個(gè)新正方形，記其面積為a₂，按此方法依次做下去…
（1）求a₁和a₂；
（2）記a_n為第n次得到的正方形面積，寫出關(guān)于a_n的表達(dá)式（不必證明）；
（3）求經(jīng)過n次后所得n個(gè)正方形的面積之和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：計(jì)算題,作圖題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意作出圖形輔助，
（1）由圖形直接可寫出a₁和a₂；
（2）由圖可知新正方形的面積是上一個(gè)正方形面積的一半，故a_n=

1

2n

；
（3）由題意，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求S=1-

1

2n

．

解答： 解：（1）由圖及題意可得，
a₁=

1

2

，a₂=

1

4

；
（2）由題意可得，
a_n=

1

2n

；
（3）S=

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生的想象力及等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題．