【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
【答案】
(1)證明:(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,
在四邊形A1EBD是平行四邊形,即A1E∥BD,
同理,四邊形CC1DE是平行四邊形,即CE∥C1D,
又A1E∩CE=E,∴平面A1CE∥平面BDC1,
∵A1C平面A1CE,∴A1C∥平面BDC1
(2)解:法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,
∵AB⊥AC,∴A1B⊥A1C,
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,∴∠A1FC1是所求二面角的平面角,
設(shè)AB=2,又AB=AC= ,∴A1D=1,AA1=3,∴BD= ,
∵△A1DF∽△BDB1,∴ ,∴A1F= ,
∵A1C1=2,∴ ,
∴cos∠A1FC1= = .∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為 .
法二:棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,A1B1⊥A1C1,
∴A1B1,A1C1,AA1兩兩垂直,
以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,
設(shè)AB=2,則B(3,2,0),D(0,1,0),C1(0,0,2),
∴ =(3,1,0), =(0,﹣1,2),
設(shè)平面BDC1的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y=6,得 =(﹣2,6,3),
∵平面AA1DB的一個(gè)法向量 =(0,0,1)
∴cos< >= = ,
由圖知二面角A﹣BD﹣C1的平面角為多姿多彩銳角,
∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值為 ./p>
【解析】(1)取AB的中點(diǎn)E,連結(jié)A1E,CE,DE,推導(dǎo)出A1E∥BD,CE∥C1D,從而平面A1CE∥平面BDC1,由此能證明A1C∥平面BDC1.(2)法一:延長(zhǎng)BD至F,連結(jié)A1F,使得A1F⊥DF,連結(jié)C1F,推導(dǎo)出∠A1FC1是所求二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.(2)法二:以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的5次測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D所示,設(shè)s1 , s2分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差, 、 分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員測(cè)試成績(jī)的平均數(shù),則有( )
A. ,s1<s2
B. ,s1<s2
C. ,s1>s2
D. ,s1>s2
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 左、右頂點(diǎn)分別為A,B.以F1F2為直徑的圓O過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)D,直線DB與圓O相交得到的弦長(zhǎng)為 .設(shè)點(diǎn)P(a,t)(t≠0),連接PA交橢圓于點(diǎn)C,坐標(biāo)原點(diǎn)為O.
(I)求橢圓E的方程;
(II)若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積,求|t|的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高二丈,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈,上棱長(zhǎng)2丈,高2丈,問(wèn):它的體積是多少?”已知1丈為10尺,該鍥體的三視圖如圖所示,則該鍥體的體積為( )
A.10000立方尺
B.11000立方尺
C.12000立方尺
D.13000立方尺
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2 , 上、下頂點(diǎn)分別為B2、B1 , O為坐標(biāo)原點(diǎn),四邊形A1B1A2B2的面積為4,且該四邊形內(nèi)切圓的方程為x2+y2= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若M、N是橢圓C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),直線OM、ON的斜率之積等于﹣ ,試探求△OMN的面積是否為定值,并說(shuō)明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0.則當(dāng) 取得最大值時(shí), 的最大值為( )
A.0
B.1
C.
D.3
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程|lnx|=f(x)根的個(gè)數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是( )
A.(4,2018)
B.(4,2020)
C.(3,2020)
D.(2,2020)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,頂角D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰好為點(diǎn)C.
(1)求證:AD1⊥BC;
(2)若直線DD1與直線AB所成角為 ,求平面ABC1D1與平面ABCD所成角(銳角)的余弦值函數(shù)值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com